Kinetische TemperaturDer Ausdruck für den Gasdruck aus der kinetischen Gastheorie verbindet Druck und Volumen mit der mittleren kinetischen Energie der Moleküle. Ein Vergleich mit der idealen Gasgleichung liefert einen Ausdruck mit der Temperatur, die manchmal als kinetische Temperatur bezeichnet wird. ![]() Daraus ergibt sich: ![]() Eine gebräuchlichere Form drückt die mittlere kinetische Energie der Moleküle aus:
Eine wichtige Bemerkung ist, dass sich die hier verwendete, mittlere kinetische Energie nur auf die Translation der Moleküle bezieht. Diese werden als punktförmige Teilchen ohne innere Freiheitsgrade betrachtet, wie z.B. Rotationen oder Schwingungen. Dieser Unterschied wird wichtig, wenn man sich z.B. mit der spezischen Wärme von Gasen befasst. Möchte man die spezifische Wärme betimmen, so muss die gesamte Energie der Moleküle in Betracht gezogen werden - die Temperatur, wie man sie gewöhnlich misst, schließt nicht die Molekülrotation und -schwingung mit ein. Die kinetische Temperatur wird z.B. als Variable bei der Wärmeübertragung benötigt, da es die translatorische kinetische Energie ist, die die Energie von einem wärmeren Bereich (größere kinetische Temperatur, größere Molekülgeschwindigkeiten) in einen kälteren Bereich (geringere Molekülgeschwindigkeiten), durch direkte Stöße, überträgt.
|
Index Mehr zu idealen Gasen Mehr zur kinetischen Gastheorie | ||||||
|
Zurück |
MolekülgeschwindigkeitenAus dem Ausdruck für die kinetische Temperatur
folgt durch Substitution die mittlere quadratische Molekülgeschwindigkeit (rms, root mean square): ![]() Aus der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung kann diese Geschwindigkeit, wie auch die mittlere und die wahrscheinlichste Geschwindigkeit berechnet werden. |
Index Mehr zur kinetischen Gastheorie | ||
|
Zurück |
Maxwell-GeschwindigkeitsverteilungDie Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle eines idealen Gases ist gegeben durch:
Man beachte, dass M die molare Masse ist und dass die universelle Gaskonstante R in dem Ausdruck verwendet wird. Benutzt man stattdessen die Masse eines einzelnen Teilchens m, so muss man lediglich die universelle Gaskonstante R durch die Boltzmannkonstante k ersetzen. |
Index Mehr zur kinetischen Gastheorie | |||||
|
Zurück |
Berechnung der Molekülgeschwindigkeit
|
Index Mehr zur kinetischen Gastheorie | ||
|
Zurück |
Herleitung der Boltzmann-VerteilungBei einer sehr großen Anzahl von Teilchen macht es Sinn, statistische Methoden anzuwenden, um die Natur zu erforschen. Bei der Beschreibung der Molekülgeschwindigkeiten in einem Gas erwartet man die wahrscheinlichste Verteilung, da es sich hierbei um Teilchenzahlen in der Größenordnung von der Avogadrozahl handelt. Diese wahrscheinlichste Verteilung (die Maxwell- In dieser Herleitung wird davon Gebrauch gemacht, dass die mittlere kinetische Energie der Moleküle durch die kinetische Temperatur ausgedrückt werden kann. Die Energieerhaltung bedeutet in diesem Fall einfach, dass die kinetische mit der potentiellen (gravitations) Energie auszugleichen ist, wenn man die Atmosphäre als ein ideales Gas betrachtet. Aus dem Ausdruck für die kinetische Temperatur
ergibt sich ein experimentell überprüfter Ausdruck für die kinetische Energie der Moleküle. Die barometrische Höhenformel: ![]() liefert die Beschreibung eines idealen Gassystems und kann zur Herleitung eines Plausibilitätsarguments für die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung dienen. Dazu sind folgende Schritte notwendig: In einer Raumdimension ergibt das den Ausdruck: ![]() Bezieht man alle Richtungen der Geschwindikeit mit ein, so ergibt sich die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:
Es sollte bemerkt werden, dass eine Formel, die von der Schwerkraft abhängt, für die Geschwindigkeitsverteilung benutzt wurde, am Ende jedoch "g" nicht mehr auftaucht. Die barometrische Höhenformel wurde nur benutzt, um die Teilchen- und Energieerhaltung mit der Geschwindigkeitsverteilung zu verknüpfen. |
Index Mehr zur kinetischen Gastheorie Literatur: Rohlf Abschn. 2-3 | |||
|
Zurück |