Kinetische Temperatur

Der Ausdruck für den Gasdruck aus der kinetischen Gastheorie verbindet Druck und Volumen mit der mittleren kinetischen Energie der Moleküle. Ein Vergleich mit der idealen Gasgleichung liefert einen Ausdruck mit der Temperatur, die manchmal als kinetische Temperatur bezeichnet wird.


Daraus ergibt sich:

Eine gebräuchlichere Form drückt die mittlere kinetische Energie der Moleküle aus:
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Eine wichtige Bemerkung ist, dass sich die hier verwendete, mittlere kinetische Energie nur auf die Translation der Moleküle bezieht. Diese werden als punktförmige Teilchen ohne innere Freiheitsgrade betrachtet, wie z.B. Rotationen oder Schwingungen. Dieser Unterschied wird wichtig, wenn man sich z.B. mit der spezischen Wärme von Gasen befasst. Möchte man die spezifische Wärme betimmen, so muss die gesamte Energie der Moleküle in Betracht gezogen werden - die Temperatur, wie man sie gewöhnlich misst, schließt nicht die Molekülrotation und -schwingung mit ein. Die kinetische Temperatur wird z.B. als Variable bei der Wärmeübertragung benötigt, da es die translatorische kinetische Energie ist, die die Energie von einem wärmeren Bereich (größere kinetische Temperatur, größere Molekülgeschwindigkeiten) in einen kälteren Bereich (geringere Molekülgeschwindigkeiten), durch direkte Stöße, überträgt.

KonstantenGleichverteilung der EnergieThermische Energie
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Molekülgeschwindigkeiten

Aus dem Ausdruck für die kinetische Temperatur

Berechnung


folgt durch Substitution die mittlere quadratische Molekülgeschwindigkeit (rms, root mean square):

Aus der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung kann diese Geschwindigkeit, wie auch die mittlere und die wahrscheinlichste Geschwindigkeit berechnet werden.
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Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung

Die Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle eines idealen Gases ist gegeben durch:
Mit dieser Funktion können einige charakteristische Molekül- geschwindigkeiten berechnet werden oder der Bruchteil der Moleküle überhalb einer bestimmten Geschwindigkeit bei gegebener Temperatur. Sie taucht bei vielen Phänomenen auf.

Berechnung

Man beachte, dass M die molare Masse ist und dass die universelle Gaskonstante R in dem Ausdruck verwendet wird. Benutzt man stattdessen die Masse eines einzelnen Teilchens m, so muss man lediglich die universelle Gaskonstante R durch die Boltzmannkonstante k ersetzen.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit bei einigen endlichen Werten maximal, wenn die mittlere Geschwindigkeit gleich Null ist?
Herleitung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung aus der Boltzmannverteilung
Mehr Erläuterungen zu der Herleitung der Formel
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Berechnung der Molekülgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle eines idealen Gases ist gegeben durch:
Die Berechnung Molekülgeschwindigkeit hängt von der molekularen Masse und von der Temperatur ab. Für eine Masse von
m = u
M = kg/mol
und bei einer Temperatur von
T = K
T = C
werden die drei charakteristischen Geschwindigkeiten berechnet.
Die nominelle, mittlere molekulare Masse für trockene Luft beträgt 29 u.
Wahrscheinlichste Geschw.: = m/s = km/h = mph
Mittlere Geschwindigkeit: = m/s = km/h = mph
RMS Geschwindigkeit: = m/s = km/h = mph
Häufigkeit der ZusammenstößeMittlere freie Weglänge
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Herleitung der Boltzmann-Verteilung

Bei einer sehr großen Anzahl von Teilchen macht es Sinn, statistische Methoden anzuwenden, um die Natur zu erforschen. Bei der Beschreibung der Molekülgeschwindigkeiten in einem Gas erwartet man die wahrscheinlichste Verteilung, da es sich hierbei um Teilchenzahlen in der Größenordnung von der Avogadrozahl handelt. Diese wahrscheinlichste Verteilung (die Maxwell-Boltzmann-Verteilung) setzt voraus, dass die Teilchenzahl und die Gesamtenergie konstant ist (Energieerhaltung). Die Anpassung der Wahrscheinlichkeitsverteilung an diese Nebenbedingungen ist im Allgemeinen kein einfaches mathematisches Problem (siehe z.B. Richtmyer, et al.). Ein einfacherer Weg die Lösung zu erhalten, ist sich die barometrische Höhenformel aus der Atmosphärenphysik anzuschauen. Folgende Herleitung nach Rohlf.

In dieser Herleitung wird davon Gebrauch gemacht, dass die mittlere kinetische Energie der Moleküle durch die kinetische Temperatur ausgedrückt werden kann. Die Energieerhaltung bedeutet in diesem Fall einfach, dass die kinetische mit der potentiellen (gravitations) Energie auszugleichen ist, wenn man die Atmosphäre als ein ideales Gas betrachtet.

Aus dem Ausdruck für die kinetische Temperatur


ergibt sich ein experimentell überprüfter Ausdruck für die kinetische Energie der Moleküle. Die barometrische Höhenformel:


liefert die Beschreibung eines idealen Gassystems und kann zur Herleitung eines Plausibilitätsarguments für die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung dienen. Dazu sind folgende Schritte notwendig:

Die Teilchengeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe bringen.
Den Teilchenfluss in den Bezug zur Geschwindikeitsverteilung bringen.
Die Geschwindigkeitsverteilung auf die barometrische Höhenformel beziehen.
Die Geschwindigkeitsverteilung berechnen und normieren.

In einer Raumdimension ergibt das den Ausdruck:


Bezieht man alle Richtungen der Geschwindikeit mit ein, so ergibt sich die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:

Warum wird dieser Ausdruck bei höheren Geschwindigkeiten asymmetrisch und der eindimensionale von oben nicht?

Es sollte bemerkt werden, dass eine Formel, die von der Schwerkraft abhängt, für die Geschwindigkeitsverteilung benutzt wurde, am Ende jedoch "g" nicht mehr auftaucht. Die barometrische Höhenformel wurde nur benutzt, um die Teilchen- und Energieerhaltung mit der Geschwindigkeitsverteilung zu verknüpfen.

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Literatur:
Rohlf
Abschn. 2-3
 
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