Die Energieverteilungsfunktion

Eine Verteilungsfunktion f(E) gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen in einem Energiezustand E aufzufinden. Die Verteilungsfunktion ist eine Verallgemeinerung der diskreten Wahrscheinlichkeit; die Energie kann als kontinuierliche Variable betrachtet werden. In der Natur treten drei merklich verschiedene Verteilungsfunktionen auf. Das A im Nenner jeder Funktion dient der Normierung und kann von der Temperatur abhängen.

Identische, aber unterscheidbare TeilchenIdentische, ununterscheidbare Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen).Identische, ununterscheidbare Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen).
Beispiel: Geschwindigkeitsverteilung von Molekülen
Beispiele: Wärmestrahlung,
Spezifische Wärme
Beispiele: Elektronen in einem Metall,
Leitung in Halbleitern.
Die EnergieverteilungWichtige Verteilungsfunktionen
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Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist die klassische Verteilungsfunktion für die Verteilung einer bestimmten Menge Energie auf identische, aber unterscheidbare Teilchen.

Neben der Annahme der Unterscheidbarkeit, postuliert die klassische statistische Physik folgendes:

  • Beliebig viele Teilchen können einen bestimmten Zustand besetzen.
  • Im thermischen Gleichgewicht wird die Verteilung der Teilchen, auf die verfügbaren Energiezustände, die wahrscheinlichste Verteilung für die entsprechende Gesamtenergie und die Anzahl aller Teilchen sein.
  • Jeder einzelne Zustand des System wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit besetzt.

Eine grundsätzliche Idee dieser Postulate ist, dass es unwahrscheinlich für ein Teilchen ist, eine Energie weit über dem Mittelwert zu besitzen. Energien unterhalb der Mittelwerts werden bevorzugt, da es mehr Möglichkeiten gibt, diese zu besetzen. Bekommt ein Teilchen z.B. mehr als das zehnfache der mittleren Energie, so wird die Anzahl der Möglichkeiten für die Verteilung der restlichen Energie dadurch reduziert. Deswegen ist dies unwahrscheinlich, da die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen einen Zustands zu besetzen, proportional zu der Anzahl der Möglichkeiten ist.

Klassische Anwendungen der Boltzmannverteilung
VerteilungsfunktionenZahlenbeispiel
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Blatt
Kap. 11.
 
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