Quantenmechanischer harmonischer Oszillator: Wellenfunktionen

Löst man die Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators, so erhält man die hier abgebildeten Wellenfunktionen:

Vergleich zu klassischen Wahrscheinlichkeiten

Die Lösung der Schrödingergleichung für die ersten vier Energiezustände sind die normierten Wellenfunktionen auf der linken Seite. Diese Funktionen sind in der obigen Abbildung links eingezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit den Oszillator an einem Ort x zu finden, ist durch das Quadrat der Wellenfunktion gegeben, oben rechts abgebildet. Man beachte, dass die Wellenfunktionen mit höheren n mehr "Hügel" innerhalb des Potentialtopfs haben. Das bedeutet eine kürzere Wellenlänge – durch die deBroglie-Beziehung kann man den Wellenfunktionen einen größeren Impuls und somit höhere Energie zuschreiben.

In in den unteren Niveaus unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten deutlich von dem klassischen harmonischen Oszillator, der sich häufiger an den Enden seiner Bewegung aufhält. Mit größer werdender Quantenzahl jedoch ähnelt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer mehr der des klassischen Oszillators. Das Annähern an das klassische Verhalten bei hohen Quantenzahlen nennt man das Korrespondenzprinzip.

Wird die Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators durch eine Reihe gelöst, so enthalten die Lösungen Polynome, die man die Hermiteschen Polynome nennt.

Die Wellenfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators enthalten eine Gaußfunktion, die bewirkt, dass die notwendigen Randbedingungen im Unendlichen eingehalten werden. In der Wellenfunktion für ein bestimmtes n wird die Gaußfunktion mit einem Polynom n-ten Grades multipliziert (den oben erwähnten Hermite-Polynomen) und einigen Konstanten zur Normierung der Wellenfunktion.

Index

Mehr zur Schrödinger- gleichung

Literatur
Beiser, Perspectives
Abschn. 8-7
Thornton & Rex
Abschn. 7-6
 
HyperPhysics***** Quantenphysik R Nave
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