Das Korrespondenzprinzip und der Quantenoszillator

Die Quantenmechanik wird benötigt, um die Natur auf atomarer Skala zu beschreiben und die Newtonschen Gesetze funktionieren sehr gut für makroskopische Objekte. Irgendwo auf der Skala zwischen der Quantenphysik und der klassischen Physik müssen beide Beschreibungen ineinander übergehen. Geht man von der Quantenphysik aus, so weiß man, dass die Energie von Quantenzahlen abhängt und man könnte annehmen, dass bei beliebig großen Quantenzahlen die Quantenbetrachtung mit der klassischen übereinstimmt. Die Überlegung, dass die Quanten- in die klassische Betrachtung übergeht nennt man "Korrespondenzprinzip".

Betrachtet man den Grundzustand des Quanten- harmonischen Oszillators, so scheint das Korrespondenzprinzip sehr weit hergeholt, da die Voraussagen für den wahrscheinlichsten Aufenthalt im totalen Widerspruch zu der klassischen Betrachtung stehen. Wenn die Ruhelage des Oszillators x = 0 ist, dann sagt der Quantenoszillator für den Grundzustand voraus, dass sich der Oszillator die meiste Zeit in der Nähe der Ruhelage befinden wird. Die klassische Masse-auf-Feder wird offensichtlich nur wenig Zeit an diesem Punkt verbringen, da dort die maximale Geschwindigkeit erreicht ist. Die meiste Zeit wird sie an den Endpunkten der Schwingung verbringen, da die Geschwindigkeit dort klein ist.

Geht man, durch das Vergrößern von n, zu immer höheren Energiezuständen des Quantenoszillators, so verschiebt sich die größte Aufenthalts- wahrscheinlichkeit zum Rand des Potentialtopfes. Es ist zwar noch eine Schwankung in der Wahrscheinlichkeit zu erkennen, was charakteristisch für eine Lösung der Wellenfunktion ist, aber insgesamt ähnelt es der klassischen Wahrscheinlichkeit (gestrichelte Linie) schon mehr.

Die starken Schwankungen der Wahrscheinlichkeit haben nur praktische Auswirkungen, wenn sie auch beobachtbar sind. Je höher jedoch die Quantenzahl ist, desto schmaler ist der Abstand zwischen den Peaks. Ist n groß genug, so verhindert die Unschärferelation eine Auflösung der Lücken, ohne gleichzeitig den physikalischen Zustand des Oszillators zu verändern. Der exponentiell abfallende Teil, der in die klassisch verbotenen Bereiche ragt, schrumpft mit größerem n, so dass der Quantenoszillator immer mehr dem klassischen Oszillator gleicht.

Bohr verwendete den Ausdruck "Korrespondenzprinzip" als er erwartete, dass die Stahlungscharakteristik der Atome, für große Quantenzahlen, mit der klassischen Strahlung beschleunigter Ladungen übereinstimmen müsste. Die beobachteten Linienspektren von Atomen weichen allerdings enorm vom klassischen Verhalten ab. Beiser berechnet jedoch in einem Beispiel, dass die Frequenz der Strahlung eines Atoms mit der Quantenzahl n = 10.000 nur 0,01 % vom klassischen Ergebnis abweicht.

Mehr Details zu klassischen und Quantenwahrscheinlichkeiten
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Mehr zur Schrödinger- gleichung

Literatur
Beiser, Perspectives
Abschn. 6-6
Thornton & Rex
Abschn. 7-6, 8-7
 
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Vergleich der klassischen mit den Quanten-Wahrscheinlichkeiten beim harmonischen Oszillator

Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Thema in dem Bereich der Quantenphysik und in der klassischen Physik. Er ist ein gutes Beispiel dafür, wie unterschiedlich Quanten- und klassische Ergebnisse sein können. Zum Beispiel kann man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens betrachten, das mit einer Auslenkung x um die Ruhelage oszilliert. Im klassischen Fall ist die Wahrscheinlichkeit an den Umkehrpunkten der Bewegung am größten, da sich das Teilchen dort langsamer bewegt und auch kurzzeitig zum Stillstand kommt. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit das Teilchen in einem Intervall Dx aufzufinden, ist der Kehrwert der mittleren Geschwindigkeit in diesem Intervall. Im quantenmechanischen Fall ist die Wahrscheinlichkeit, für das Auffinden des oszillierenden Teilchens in einem Intervall Dx, das Quadrat der Wellenfunktion - und das macht einen großen Unterschied bei kleinen Energiezuständen. Im unteren Diagramm ist zu sehen, dass die Wahrscheinlichkeit für den Grundzustand (n = 0) in der Ruhelage bei x = 0 am größten ist.

Für die ersten Quantenenergieniveaus sieht man kaum Übereinstimmungen zwischen den Quanten- und den klassischen Wahrscheinlichkeiten, aber ab dem Wert n = 10 beginnt eine gewisse Ähnlichkeit. Sie sehen nicht gleich aus, aber die Wahrscheinlichkeit ist an den Enden der Bewegung jeweils am größten. Bei sehr großen Werten für n ist die Übereinstimmung sehr groß und die Schwankungen der Quantenwahrscheinlichkeit rücken so dicht aneinander, dass sie praktisch verschwinden. Die Tatsache, dass das die Wahrscheinlichkeiten, für das Auffinden des Oszillators an einem Ort x, bei Quanten- und klassischer Betrachtung ineinander übergehen, nennt man das Korrespondenzprinzip.

Eine andere bemerkenswerte Tatsache bei den klassischen und Quanten-Wahrscheinlichkeiten von oben ist, dass die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit strikt zwischen den vertikalen Linen beschränkt ist, die die klassischen Begrenzungen darstellen. Die Quantenwahrscheinlichkeiten jedoch überschreiten diese Grenzen in klassisch verbotene Bereiche, wo sie dann exponentiell abfallen.

Wahrscheinlichkeiten im Oszillatorpotential
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Literatur
Blatt
Kap. 7
 
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