Die Polarwinkelgleichung

Bei der Separation der Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms, lautet die Gleichung für den Polarwinkel:

Die Lösung der Gleichung für den Azimutwinkel liefert die Nebenbedingung:

Für die Lösung muss die obige Gleichung so umgeformt werden, dass cosq zur Variablen wird. Durch eine Reihenentwicklung (polynomisch) ergibt sich durch die Lösung, dass die Konstante nur folgende Werte annehmen kann:

l ist dabei die Bahnquantenzahl. Die Lösungen der Polarwinkelgleichung werden assoziierte Legendrefunktionen genannt und mit geeigneter Normierung sind sie auch Teil der Wasserstoffwellenfunktionen.

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Die Bahndrehimpulsquantenzahl

Aus den Nebenbedingungen der Wasserstoffwellenfunktion ergibt sich aus der Polarwinkelgleichung eine Konstante der Form:

Dabei ist n die Hauptquantenzahl. Dies ist die Definition der Bahndrehimpulsquantenzahl und der Betrag des Bahndrehimpulses wird mit ihr folgendermaßen bestimmt:

Der Zusammenhang zwischen dem Betrag des Drehimpulses und der Quantenzahl wird häufig in einem Vektormodell veranschaulicht. Die Bahndrehimpulsquantenzahl legt die Werte für die magnetische Quantenzahl fest. Die Bahnquantenzahl wird für die Bezeichnung der Elektronenzustände in einem Atom bei der spektroskopischen Notation verwendet.

Die Bahndrehimpulsquantenzahl spielt auch eine Rolle bei der Zeeman-Wechselwirkung, da die Bahnbewegung ein magnetisches Moment erzeugt. Die Quantenzahl hat einen Einfluss auf die Energie der Elektronen und erklärt die Unterschalen in der Atomstruktur.

Quantenzahlen für Elektronen in einem Atom
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Spektroskopische Notation

Bevor die Elektronenniveaus in einem Atom durch die Quantenmechanik erklärt wurden, haben die Spektroskopiker verschiedene Serien in den Atomspektren gefunden und den charakteristischen Spektren Buchstaben zugewiesen. Mit den Quantenzahlen, die die Elektronenzustände bezeichnen, lautet die Notation:

Anzahl der erlaubten Zustände für ein Elektron

Die spektroskopische Notation wird zu den Termsymbolen erweitert, für die elektronischen Zustände in Mehrelektronenatomen. Dadurch kann das obige Schema für den Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons auf den Gesamtbahndrehimpuls L eines Elektronenzustands angewendet werden.

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