Separation des Radialteils

Substituiert man

in der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom, so können die partiellen Ableitungen als gewöhnliche Ableitungen geschrieben werden. Durch die Substitution und ein paar Umformungen ergibt sich:

Man beachte, dass die ersten beide Terme nur r als Variable enthalten; die anderen Terme enthalten die Winkelabhängigkeiten. Da die Gleichung für alle Werte der Variablen gelten muss, müssen die radialen Terme gleich einer Konstanten sein. Dadurch wird der Radialteil der Gleichung separiert. Die winkelabhängigen Terme müssen zusammen gleich dem negativen dieser Konstante sein. Die beiden Winkel müssen jeweils ebenfalls gleich einer Konstante sein, da die Terme für alle Winkelwerte gelten müssen. Dadurch werden die zwei Winkelanteile in die Polarwinkel- und in die Azimutwinkelgleichung separiert.

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Die Radialgleichung

Durch die Separation der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom, lautet die Radialgleichung:

Um die Gleichungen zu separieren, wird der Radialteil gleich einer Konstante gesetzt. Die Konstante l(l+1) folgt aus der Lösung Polarwinkelgleichung und ergibt die Bahndrehimpulsquantenzahl.

Die Lösungen dieser Gleichungen unter den Nebenbedingungen der Wellenfunktion ergeben eine Reihe von Polynomen, die auch assoziierte Laguerre-Polynome genannt werden. Um die physikalischen Randbedingungen anzupassen, enthalten diese Lösungen einen Parameter n, der nur positive, ganzzahlige Werte annehmen kann. Dieser Parameter wird Hauptquantenzahl genannt. Die Lösungen der Radialgleichung lauten:

wobei die assoziierten Laguerre-Polynome sind. Die ersten radialen Wellenfunktion sind bei den Wasserstoff-Wellenfunktionen aufgeführt.

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Die Hauptquantenzahl

Die Hauptquantenzahl n ergibt sich aus der Lösung des Radialteils der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom. Die Energien der gebundenen Zustände eines Elektrons in einem Wasserstoffatom ergeben sich durch:

Im Periodensystem hängen die Hauptschalen der Elektronen von der Hauptquantenzahl n ab und lauten: K(n=1), L(n=2), M(n=3), usw.

Quantenzahlen für die Elektronen in einem Atom
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