Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung hat die gleiche Funktion wie die Newtonschen Gesetze und die Energieerhaltung in der klassischen Mechanik - sie macht Vorhersagen über das Verhalten eines dynamischen Systems. Sie ist eine Gleichung mit der Wellenfunktion, die genaue und analytische Vohersagen über die Wahrscheinlichtkeiten von Ereignissen oder Ausgängen macht. Die einzelnen Ausgänge sind nicht strikt festgelegt, für eine große Anzahl an Ereignissen jedoch sagt die Schrödingergleichung die Verteilung der Ergebnisse voraus.

Die kinetische und potentielle Energie werden in den Hamiltonoperator umgewandelt, der auf die Wellenfunktion wirkt und sie in Zeit und Raum entwickelt. Die Schrödingergleichung liefert die quantisierten Energien des Systems und die Form der Wellenfunktion, so dass andere Eigenschaften berechnet werden können.

Teilchen im Kasten

Die idealisierte Situation eines Teilchens in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden ist eine Anwendung der Schrödingergleichung und liefert einige Einsichten zur Teilchenbindung. Die Wellenfunktion muss an den Wänden null sein und die Lösung für diese Wellenfunktion ergibt einfach Sinuswellen. Die längste Wellenlänge ist und die höheren Moden haben Wellenlängen gegeben durch Wenn man dies in die DeBroglie-Beziehung einsetzt, ergibt das den Impuls

Teilchen im Kasten

Berechnung

Der Ausdruck für den Impuls für das Teilchen im Kasten : wird benutzt, um die Energie des Teilchens zu berechnen Obwohl dies stark vereinfachend ist, zeigt dies einige wichtige Dinge über die gebundenen Zustände von Teilchen: 1. Die Energie ist quantisiert und kann durch eine Quantenzahl charakterisiert werden. 2. Die Energie kann nicht genau Null sein. 3. Je enger die Einschränkung, desto größer die benötigte Energie. Ist ein Teilchen in einem rechteckigen Volumen eingesperrt, so kann das Vorgehen analog auf ein dreidimesionales "Teilchen im Kasten" angewandt werden und es ergibt sich die gleiche Energie für jede Dimension. Die Energie für einen dreidimensionalen Kasten sind Dies ergibt einen physikalisch realistischeren Ausdruck für die möglichen Energien für eingeschlossene Teilchen. Dieser Ausdruck wird zur Bestimmung der Dichte möglicher Energiezustände für Elektronen in Festkörpern verwendet.

Teilchen im Kasten Berechnung

Für ein eindimensionales Teilchen im Kasten kann die Teilchenenergie unten berechnet werden. Für einen dreidimensionalen Kasten gäbe es drei Werte für die Quantenzahl n. Die Energien für jede Dimension könnten berechnet und addiert werden. Die Bedeutung dieser Addition ist, dass man mehr Energie benötigt, um ein Teilchen in einem drei- statt in einem eindimensionalen Kasten zu binden. Die minimale Bindungsenergie für einen 3D-Kasten der Dimension L ist dreimal so groß, wie die für den 1D-Kasten

L = x 10^ m = a₀ = fermi* = Protonenradius**,

und Masse = x 10^ kg = m_e = m_p = MeV/c²,

dann ist die Energie für den Zustand n = für einen eindimensionalen Kasten:

E = x 10^Joule = eV = MeV = GeV.

Der Grundzustand des 3D-Kastens der Dimension L kann durch das Setzen von n = 1 für alle drei Dimensionen erhalten werden. Dies gibt eine Energie, die dreimal der Grundzustandsenergie des 1D-Kastens entspricht. Der Grundzustand für den dreidimensionalen Kasten wäre dann: E3D Grund = x 10^Joule = eV = MeV = GeV. Anmerkung: Wenn die Energie geändert wird, wird der Zustand auf n = 1 gesetzt und der Kasten der Dimension L wird berechnet. Bei anderen Änderungen wird die Energie neu berechnet.

Vergleich mit Unschärferelation

Energien in eV

Kasten mit endlich hohen Wänden

Beispiel für benötigte Energie für Teilchenbindung